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03/07/2011


Probabilidade Prática — Parte X
(por Steve Zolotow)


Dia da Independência.


Eu finalizei minha última coluna mencionando um tipo de raciocínio equivocado sobre probabilidade conhecido como "falácia do apostador".

Basicamente, trata-se da crença errônea de que uma série de desvios em uma direção vai fazer com que os próximos resultados tendam a equilibrar essa sequência anormal. Ao jogar cara ou coroa, você já viu muitas caras seguidas e sentiu que era hora de aparecer coroa?

Caso tenha sentido, você caiu na armadilha da falácia do apostador. Como cara e coroa são resultados independentes e aleatórios, a probabilidade de eles ocorrerem independe do que acabou de acontecer. Isso nos conduz à discussão sobre independência.

Quando o termo independência é usado em uma discussão sobre probabilidade ou estatística, ele não guarda nenhuma relação com a separação dos Estados Unidos e do Império Britânico nem com sua capacidade de pagar suas contas sem nenhuma ajuda dos pais.

Ele significa que a probabilidade de algo ocorrer não guarda absolutamente nenhuma relação com o fato de outra coisa ter ou não ocorrido. Eventos independentes são às vezes confundidos com eventos mutuamente exclusivos.

Se dois eventos forem independentes, a probabilidade de um deles ocorrer, se o outro tiver ocorrido, é a mesma de se o outro evento não tiver ocorrido. Dois eventos independentes podem ambos acontecer, ou apenas um deles, ou nenhum deles.

Se dois eventos forem mutuamente exclusivos, ambos não podem ocorrer. Você pode terminar em primeiro ou em 17º em um torneio, mas não pode terminar em ambos os lugares. Tais eventos são mutuamente exclusivos. Agora, vamos voltar à independência.

Há vários conceitos relevantes que precisam ser abordados. Primeiro, é importante aprender a distinguir quais eventos são independentes e quais não são. Segundo, é importante aprender as regras e fórmulas matemáticas para lidar com eventos independentes (as regras para lidar com eventos dependentes são um pouco mais complicadas, mas, antes de essa coluna terminar, você terá sido apresentado a ambas).

Em muitos casos, deve ser intuitivamente óbvio que dois eventos são independentes. Se você rolar um dado e puxar uma carta, os resultados serão independentes. A chance de dar 6 no dado é de 1/6, e a chance de puxar um 6 de um baralho normal é de 4/52 ou 1/13. Se você rolar um 6, isso não altera a probabilidade de você puxar um 6, e vice-versa. Se der 6 e depois rolar outro dado, a probabilidade de dar 6 da segunda vez não muda. Ainda é de 1/6. O segundo lançamento é independente do primeiro.

Se você puxar um 6 do baralho e depois puxar novamente sem colocar o primeiro 6 de volta ao baralho, as odds mudaram. Sua segunda carta vem de um baralho que tem apenas três seis e 51 cartas. A probabilidade de puxar um segundo 6 agora é de 3/51 ou 1/17. As odds aumentaram de 12-1 para 16-1. Portanto, puxar uma segunda carta do mesmo baralho não é um evento independente. Ele tem uma probabilidade diferente.

É por isso que é possível se beneficiar com a contagem de cartas no blackjack. As cartas que sobram são dependentes das que já foram distribuídas. É também por isso que não é possível se beneficiar contando os dados ou as rodadas da roleta. Cada novo lançamento de dados ou giro da roleta é independente dos anteriores.

Com frequência é necessário calcular a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem (tecnicamente, ela é conhecida como a interseção dos dois eventos). Quando são independentes, é fácil. Multiplique a probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade do outro.

Vamos analisar novamente nossos exemplos anteriores. A probabilidade de dar 6 em um dos dados é 1/6, e a de puxar um 6 de um baralho é de 1/13. Então qual é a chance de conseguir ambos? Nós multiplicamos 1/6 por 1/13 e descobrimos que é 1/78. A probabilidade de dar 6 duas vezes é 1/6 vezes 1/6, que totaliza 1/36.

Nada poderia ser mais fácil do que calcular a probabilidade de dois eventos independentes ocorrerem. De fato, se você quisesse calculá-la para mais de dois eventos independentes, bastava prosseguir multiplicando. Qual é a probabilidade de rolar quatro seis seguidos? É 1/6 vezes 1/6 vezes 1/6 vezes 1/6, que totaliza 1/1.296.

Infelizmente, nós geralmente nos interessamos pela probabilidade de dois eventos dependentes ocorrerem, e isso é um pouco mais difícil de se calcular.

Vamos analisar o problema de puxar dois seis de um baralho de cartas sem colocar de volta o primeiro seis puxado. A chance de puxar o primeiro 6 é de 1/13. A de puxar o segundo é de 3/51, ou 1/17 (isso é conhecido como probabilidade condicional, que é uma maneira elegante de se dizer que algo vai acontecer, tendo em vista que outra coisa já aconteceu).

A parte difícil é descobrir a probabilidade condicional. Quando definimos isso, podemos voltar a usar a regra da multiplicação. Portanto, a chance de puxar dois seis é 1/13 vezes 1/17, que totaliza 1/221.

Frequentemente, há mais de uma maneira de se calcular a probabilidade de um evento. Eis outra maneira de calcular a chance de puxar dois seis. Primeiro, nós sabemos que há seis maneiras de receber um par (espadas/copas, espadas/ouros, espadas/paus, copas/ouros, copas/paus e ouros/paus). Segundo, podemos facilmente encontrar o número possível de mãos de duas cartas.

A primeira carta pode ser qualquer uma das 52 e a segunda pode ser qualquer uma das 51 restantes. Então, há 52 vezes 51 maneiras de receber duas cartas, o que totaliza 2.652 maneiras. Mas esse número leva em conta a ordem em que as cartas são recebidas. Isso significa que 6 6 e 6 6 são contadas como duas mãos diferentes. Como não nos importa em que ordem as cartas aparecem, nós devemos dividir por 2 para contá-las como apenas uma mão, então obteríamos 2.652 dividido por 2, que é igual a 1.326. Seis maneiras de obter um par de seis dividido por 1.326 mãos possíveis totaliza 1/221. Como disse um guru do Ocidente certa vez: "Há muitas estradas para subir a montanha".

Eu vou lhe passar uma lição de casa. Você vai achar instrutivo tentar calcular as respostas. Se você resolver não fazer, nem venha me dizer que o cachorro comeu seu caderno; basta esperar pela minha próxima coluna, na qual lhe revelarei as respostas. Em qualquer caso, você precisa descobrir a probabilidade de alguém acertar uma carta perfeita tanto no turn quanto no river (dica: esses são eventos dependentes).


1. Você está na frente depois do flop em uma mão de hold'em. Você é eliminado do torneio quando seu oponente lhe dá uma bad beat, como sempre, acertando uma carta de copas no turn e outra no river para formar um flush. Supondo que você não tenha nenhuma carta de copas, qual é a chance de seu oponente acertar um flush?


2. Mais tarde, enquanto está sentado no bar, você encontra uma moça linda que estava na sua mesa mais cedo. É primavera, e o amor está no ar. Então, naturalmente, você fala sobre suas bad beats. Quando você conta sua história triste, ela diz que a dela é muito pior. Ela afirma que flopou uma trinca de ases contra um oponente que tinha apenas um par de seis. O oponente dela também proporcionou um suck out, acertando um seis no turn e completando uma quadra no river. Quais são as chances de isso acontecer?


Artigo de Steve Zolotow, publicado na revista Card Player Brasil Ano 3, N°. 27.




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